선형대수의 기초 - 연산, 내적, 외적

아래의 내용은 edwith에서 강의하는 주재걸 교수님의 [인공지능을 위한 선형대수] 강의 필기를 정리한 자료입니다.


핵심 키워드 

스칼라, 벡터 그리고 행렬은 선형대수의 값들을 표현하는 방식입니다. 스칼라의 경우 하나의 숫자로 표현하고, 벡터의 경우는 숫자들의 순서가 있는 리스트로 표현하고 행렬의 경우 배열이 모여서 값을 표현합니다.(하나의 배열로 이루어진 경우도 행렬이라고 할 수 있습니다.) 선형대수에서 중요한 점은 Vector의 표현은 기본적으로 Column vector을 기준으로 하는 점입니다. 

 

Column vector의 경우 헷갈리기 쉬운데, 위의 사진들처럼 길쭉한 세로의 탑을 생각하시면 됩니다. 

Column vector를 대게 선형대수의 기준으로 사용하고, 이는 n x 1의 matrix라고 표현하기도 합니다. (위에서 행렬의 경우 배열이 모여서 표현한다고 했지만 위의 경우처럼 단순히 하나의 경우로도 표현할 수 있습니다.) Column vector와 달리 Row vector는 Column vector의 Transpose(전치)한 형태로 표현합니다. Transpose는 대각선의 선을 기준으로 행렬을 뒤집은것을 의미합니다. 아래의 예시를 보면 이해가 갈 것이라 생각합니다. 

행렬의 경우 Sqaure matrix(정방 행렬)와 Rectangular matrix으로 나뉩니다. 둘의 차이점은 row의 수와 columns의 수가 같냐 아니냐에 따라서 나뉘게 됩니다. 

 

전치의 경우 위에서 본 것처럼 대각선(diagonal)을 중심으로 행과 렬을 뒤집는 것을 의미합니다. 

 

다음으로 (i, j), i-th row vector, i-th column vector처럼 행렬내의 원소 혹은 벡터를 표현하는 방식입니다. (i, j)는 i번째 row j번째 column을 의미하며 행렬내의 값을 의미합니다. 예를들어 A행렬에서 (2, 1)은 3을 의미합니다. 이와 비슷하게 i번째 row, column에 대한 표현은 (2, :)과 (:, 2)처럼 표현이 가능합니다. (i, j)에서 ,의 앞이 row를 의미하고 ,의 뒷부분이 column을 의미하는 것처럼 지금도 똑같이 (2, :)에서 2는 2번째 row를 의미합니다. 여기서 다른점은 :인데, :는 모든 값을 의미하는 문자입니다. 따라서, (2, :)는 2번째 row의 모든 column 값들을 표현해달라는 의미입니다.

 

행렬의 연산의 경우 행렬끼리의 덧셈, 곱셈. 상수와의 곱셈으로 나눌 수 있습니다. 상수와의 곱셈은 행렬의 모든 원소에 상수를 곱하면 됩니다.

행렬끼리의 덧셈의 경우 행렬의 원소를 더하는 것인데, 주의해야 할 점은 행렬의 크기가 같아야 하는 점입니다. 예를 들어, 아래의 사진처럼 (2, 3)으로 두개의 행렬의 크기가 같아야 합니다. 다른 경우에는 아예 계산을 할 수 없습니다.  

행렬의 곱셈의 경우 두개의 행렬의 크기가 달라도 곱셈을 할 수 있습니다. 하지만 주의해야 할 점은 앞 행렬의 열벡터의 수와 뒷 행렬의 행벡터의 크기가 같아야 하는 점입니다. 예를 들어, 아래의 경우 (2, 3) (3, 2)으로 3으로 크기가 동일합니다. 참고로 행렬의 곱셈 결과의 크기는 앞행렬의 행과 뒷 행렬의 열과 같습니다. (2, 2)는 (2, 3)에서의 행인 2와 (3, 2)에서의 열인 2으로 이루어져 있습니다. 

내적과 외적 

 

내적 : 벡터의 곱으로 결과값이 상수를 가짐. 

위의 수식이 의미하는 것처럼 A벡터를 B벡터에 대해 투영한 벡터의 길이로 표현할 수 있다. 

 

외적 : 벡터의 곱으로 결과값이 벡터를 가짐. (벡터의 차원이 다른경우 행렬이 나옴) 

위의 수식이 의미하는 것처럼 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이를 뜻하기도 하며, 두 벡터에 동시에 수직인 벡터를 의미하기도 한다. 

행렬의 다른 성질로는 분배법칙, 결합법칙, Transpose의 성질등이 있고 수식으로는 아래와 같다. 

참고자료 

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